Forskjell mellom versjoner av «TMA4115 - Matematikk 3»
Fra Nanowiki
(→Om faget) |
|||
| (45 mellomliggende revisjoner av 6 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
{{Infobox |
{{Infobox |
||
| + | | |
||
| − | |Fakta vår 2012 |
||
| + | |*'''Institutt:''' IMF |
||
| − | |*Foreleser: Dag Wessel-Berg |
||
| − | *Vurderingsform: Skriftlig eksamen (100 %) |
+ | *'''Vurderingsform:''' Skriftlig eksamen (100 %). |
| + | *'''Hjelpemiddelkode C:''' ''Spesifiserte trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt.'' |
||
| − | *Eksamensdato: 04.06.2011 |
||
| + | *'''Øvingsopplegg:''' Ukentlige skriftlige øvinger (8/12). Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII). |
||
}} |
}} |
||
| + | == Om faget == |
||
| − | {{Infobox |
||
| − | |Øvingsopplegg vår 2012 |
||
| − | |* Antall godkjente: 8/12 |
||
| − | * Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII) |
||
| − | }} |
||
| − | == |
+ | === Faglig innhold === |
| + | Matematikk 3 obligatorisk og ligger i fagplanen for 2. semester. [https://wiki.math.ntnu.no/tma4110 Emnet TMA4110] har samme pensum, men går på høstsemesteret. |
||
| − | Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner: |
||
| + | |||
| + | Emnet tar for seg følgende emner: |
||
*'''Komplekse tall''' |
*'''Komplekse tall''' |
||
| Linje 22: | Linje 21: | ||
*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger''' |
*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger''' |
||
| − | Tar for seg |
+ | Tar for seg løsning av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter, homogene ligninger med én kjent løsning og metode med variasjon av parametre. |
*'''Matriseregning og lineær algebra''' |
*'''Matriseregning og lineær algebra''' |
||
| − | Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet |
+ | Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet |
| − | + | løsning av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger og kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem. |
|
| + | === Anbefalte forkunnskaper === |
||
| − | Våren 2011 var [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx ''Advanced Engineering Mathematics''] (Erwin Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens ''Elementary Linear Algebra'' (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii). |
||
| + | [[TMA4100 - Matematikk 1]] eller tilsvarende. På tross av emnets navn er det ikke nødvendig med Matematikk 2. |
||
| − | == |
+ | === Pensumlitteratur === |
| + | Våren 2011 var [http://www.akademika.no/advanced-engineering-mathematics/kreyszig-erwin/erwin-kreyszig/9780470119167 ''Advanced Engineering Mathematics''] (Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens ''Elementary Linear Algebra'' (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii). |
||
| − | Et komplekst tall kan skrives på formen <math>z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}</math>. |
||
| + | Fra våren 2015 var ''Differential Equations, Linear algebra and its applications'' (Pearson) lærebok i alle tre deler. Denne boken består av utdrag fra flere ulike bøker og er kompilert av IMF. ISBN 978-1-78016-081-8. |
||
| − | <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad \operatorname{Arg}\,z = \arctan{\frac{b}{a}} = \theta</math> |
||
| + | === Erfaringer === |
||
| − | Den komplekskonjugerte til <math>a + bi</math> er <math>a - bi</math>. |
||
| + | == Lenker == |
||
| − | === Røtter av komplekse tall === |
||
| + | === Læringsressurser=== |
||
| + | *[[ Faglige notater: TMA4115]] |
||
| + | *[http://video.adm.ntnu.no/serier/4fe2d4d3dce25?vis=liste Videoforelesninger V12] |
||
| + | *[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra] |
||
| + | === Emnerapporter === |
||
| − | Gitt <math>w = z^n, \quad w = re^{i\,\theta + 2\pi k}, \quad z = \rho e^{i\,\phi}</math> |
||
| + | *[https://irom.ivt.ntnu.no/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/Referansegrupperapporter%20%20IME/IMF/TMA4115%20Ref.gr.rapport%202014%20V%C3%A5r.pdf#search=tma4115 Referansegrupperapport V14] |
||
| + | *[https://irom.ivt.ntnu.no/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/_layouts/15/WopiFrame.aspx?sourcedoc=/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/Emnerapporter%20%20IME/IMF/TMA4115%20Emnerapport%202014%20V%C3%A5r.docx&action=default Emnerapport V14] |
||
| + | === NTNUs sider om emnet === |
||
| − | <math>z^n = \rho^n e^{i\,n\phi} = w</math> |
||
| − | |||
| − | <math>\rho = \sqrt[n]{r} \quad \phi = i\frac{\theta + 2\pi k}{n}, k \in \left[0,n-1\right]</math> |
||
| − | |||
| − | Et komplekst tall har ''n'' n-terøtter, som ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius <math>\rho</math> i det komplekse planet. |
||
| − | |||
| − | == Andre ordens differensiallikninger == |
||
| − | |||
| − | === Homogene differensiallikninger === |
||
| − | Den homogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = 0\,</math> løses ved å løse den karakteristiske likningen <math>\lambda^2 + a\lambda + b = 0\,</math>. |
||
| − | |||
| − | * Hvis den karakteristiske likningen har kompleks løsning <math>\lambda = \alpha + i\omega</math>, er den generelle løsningen <math>y = e^{\alpha x}\left(c_1\cos{\omega x} + c_2\sin{\omega x}\right)</math> |
||
| − | * Hvis den karakteristiske likningen har én reell løsning (dobbelrot), er den generelle løsningen <math>y = \left(c_1 + c_2x\right)e^{\lambda x}</math> |
||
| − | * Hvis den karakteristiske likningen har to distinkte, reelle løsninger, er den generelle løsningen <math>y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}</math> |
||
| − | |||
| − | ==== Euler-Cauchy-likning ==== |
||
| − | Euler-Cauchy-likninger er på formen <math>y'' + \frac{a}{x}y' + \frac{b}{x^2}y = 0</math>. Den karakteristiske likningen er <math>m^2 + (a-1)m + b = 0\,</math>, og løsningen er <math>y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}</math> |
||
| − | |||
| − | === Inhomogene differensiallikninger === |
||
| − | Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. <math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter: |
||
| − | |||
| − | ==== Ubestemte koeffisienters metode ==== |
||
| − | |||
| − | ==== Variasjon av parametre ==== |
||
| − | |||
| − | ==Viktige matriseidentiter og egenskaper== |
||
| − | |||
| − | ===Konsekvenser av invertiblitet=== |
||
| − | |||
| − | Følgende utsagn er ekvivalente: |
||
| − | |||
| − | * A er inverterbar. |
||
| − | |||
| − | * det(A) ≠ 0. |
||
| − | |||
| − | * A er radekvivalent med I. |
||
| − | |||
| − | * <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math> |
||
| − | |||
| − | * <math>Ax=b</math> har én unik løsning. |
||
| − | |||
| − | ===Determinanter=== |
||
| − | NB: Kun definert for n x n-matriser. |
||
| − | |||
| − | * Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større. |
||
| − | |||
| − | * Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn. |
||
| − | |||
| − | * Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret. |
||
| − | |||
| − | * Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar |
||
| − | |||
| − | * det(AB) = det(A)•det(B) |
||
| − | |||
| − | ===Lineær avhengighet=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>. |
||
| − | |||
| − | ===Basis=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom: |
||
| − | |||
| − | * Vektorene i S er lineært uavhengige. |
||
| − | |||
| − | * Vektorene i S utspenner hele V. |
||
| − | |||
| − | ===Rad-, kolonne- og nullrom=== |
||
| − | |||
| − | * Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''. |
||
| − | |||
| − | * En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet. |
||
| − | |||
| − | * Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''. |
||
| − | |||
| − | * Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''. |
||
| − | |||
| − | * ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))'' |
||
| − | |||
| − | *''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''. |
||
| − | |||
| − | *''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''. |
||
| − | |||
| − | *''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''. |
||
| − | |||
| − | ===Ortogonal projeksjon=== |
||
| − | |||
| − | * Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''. |
||
| − | |||
| − | * <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n. |
||
| − | |||
| − | ===Egenvektorer og egenverdier=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math> |
||
| − | |||
| − | :Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>. |
||
| − | |||
| − | * ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>. |
||
| − | |||
| − | ===Transponerte matriser=== |
||
| − | |||
| − | *En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer. |
||
| − | |||
| − | * <math> (AB)^T = B^TA^T </math> |
||
| − | |||
| − | * A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math> |
||
| − | |||
| − | * Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale. |
||
| − | |||
| − | ===Diagonalisering=== |
||
| − | |||
| − | * De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>. |
||
| − | |||
| − | * A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P. |
||
| − | |||
| − | * A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer. |
||
| − | |||
| − | * Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige. |
||
| − | |||
| − | * A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise. |
||
| − | |||
| − | * For en ortogonal matrise A gjelder: |
||
| − | |||
| − | :# A er kvadratisk. |
||
| − | :# <math>A^T </math> er ortogonal. |
||
| − | :# Radene og kolonnene er ortonormale. |
||
| − | :# <math>A^T = A^{-1}</math>. |
||
| − | :# det(A) = ±1 |
||
| − | |||
| − | ===Nyttige regneregler=== |
||
| − | |||
| − | * <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> |
||
| − | |||
| − | * <math>(AB)^T=B^TA^T</math> |
||
| − | |||
| − | * <math> x \cdot y = x^T y</math> |
||
| − | |||
| − | * det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A) |
||
| − | |||
| − | * det( <math>A^{T}</math> ) = det(A) |
||
| − | |||
| − | * <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math> |
||
| − | |||
| − | == Eksterne linker == |
||
<!-- Bytt ut koden i lenkene og forandre til riktig semester i timeplanlinken --> |
<!-- Bytt ut koden i lenkene og forandre til riktig semester i timeplanlinken --> |
||
| + | *[https://wiki.math.ntnu.no/tma4115 Fagets hjemmeside] |
||
*[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse] |
*[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse] |
||
| − | *[http://www.ntnu.no/ |
+ | *[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115/2014#tab=timeplan Timeplan] |
| + | *[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115/2014#tab=omEksamen Eksamensinformasjon] |
||
| − | *[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra] |
||
[[Kategori:Obligatoriske emner]] |
[[Kategori:Obligatoriske emner]] |
||
Nåværende revisjon fra 26. apr. 2016 kl. 10:27
|
|
Innhold
Om faget
Faglig innhold
Matematikk 3 obligatorisk og ligger i fagplanen for 2. semester. Emnet TMA4110 har samme pensum, men går på høstsemesteret.
Emnet tar for seg følgende emner:
- Komplekse tall
En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.
- Andre ordens ordinære lineære differensialligninger
Tar for seg løsning av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter, homogene ligninger med én kjent løsning og metode med variasjon av parametre.
- Matriseregning og lineær algebra
Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet løsning av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger og kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.
Anbefalte forkunnskaper
TMA4100 - Matematikk 1 eller tilsvarende. På tross av emnets navn er det ikke nødvendig med Matematikk 2.
Pensumlitteratur
Våren 2011 var Advanced Engineering Mathematics (Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens Elementary Linear Algebra (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii).
Fra våren 2015 var Differential Equations, Linear algebra and its applications (Pearson) lærebok i alle tre deler. Denne boken består av utdrag fra flere ulike bøker og er kompilert av IMF. ISBN 978-1-78016-081-8.
