Faglige notater: TMA4115

Innhold

1 Komplekse tall
- 1.1 Røtter av komplekse tall
2 Andre ordens differensiallikninger
- 2.1 Homogene differensiallikninger
- 2.2 Inhomogene differensiallikninger
3 Viktige matriseidentiter og egenskaper

Komplekse tall

Et komplekst tall kan skrives på formen <math>z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}</math>.

<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad \operatorname{Arg}\,z = \arctan{\frac{b}{a}} = \theta</math>

Den komplekskonjugerte til <math>a + bi</math> er <math>a - bi</math>.

Røtter av komplekse tall

Gitt <math>w = z^n, \quad w = re^{i\,\theta + 2\pi k}, \quad z = \rho e^{i\,\phi}</math>

<math>\rho = \sqrt[n]{r} \quad \phi = i\frac{\theta + 2\pi k}{n}, k \in \left[0,n-1\right]</math>

Et komplekst tall har n n-terøtter, som ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius <math>\rho</math> i det komplekse planet.

Andre ordens differensiallikninger

Homogene differensiallikninger

Den homogene andreordens differensiallikningen <math>y + ay' + by = 0\,</math> løses ved å løse den karakteristiske likningen <math>\lambda^2 + a\lambda + b = 0\,</math>.

Hvis den karakteristiske likningen har kompleks løsning <math>\lambda = \alpha + i\omega</math>, er den generelle løsningen <math>y = e^{\alpha x}\left(c_1\cos{\omega x} + c_2\sin{\omega x}\right)</math>
Hvis den karakteristiske likningen har én reell løsning (dobbelrot), er den generelle løsningen <math>y = \left(c_1 + c_2x\right)e^{\lambda x}</math>
Hvis den karakteristiske likningen har to distinkte, reelle løsninger, er den generelle løsningen <math>y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}</math>

Inhomogene differensiallikninger

Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen.

Viktige matriseidentiter og egenskaper

Konsekvenser av invertiblitet

Følgende utsagn er ekvivalente:

A er inverterbar.

det(A) ≠ 0.

A er radekvivalent med I.

<math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

<math>Ax=b</math> har én unik løsning.

Determinanter

NB: Kun definert for n x n-matriser.

Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

det(AB) = det(A)•det(B)

Lineær avhengighet

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

Basis

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

Vektorene i S er lineært uavhengige.

Vektorene i S utspenner hele V.

Rad-, kolonne- og nullrom

Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise E på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.

Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til Ax=b. Altså ligger alle b som har løsning i Col(A).

Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av Ax=0.

Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

n = rank(A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

Ortogonal projeksjon

Du finner den ortogonale projeksjonen p av b inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og x' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen p = Ax'.

<math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

Egenvektorer og egenverdier

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor v ≠ 0, slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles v en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

Den karakteristiske likningen: <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

Transponerte matriser

En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

<math> (AB)^T = B^TA^T </math>

A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

Diagonalisering

De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne i i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne i i P.

A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

For en ortogonal matrise A gjelder:

A er kvadratisk.
<math>A^T </math> er ortogonal.
Radene og kolonnene er ortonormale.
<math>A^T = A^{-1}</math>.
det(A) = ±1

Nyttige regneregler

<math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>

<math>(AB)^T=B^TA^T</math>

<math> x \cdot y = x^T y</math>

det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

<math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>