Forskjell mellom versjoner av «TMA4115 - Matematikk 3»
Fra Nanowiki
(2011 - foreleser og øvingsdata) |
(→Om faget) |
||
| (47 mellomliggende revisjoner av 6 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
{{Infobox |
{{Infobox |
||
| + | | |
||
| − | |Fakta vår 2011 |
||
| + | |*'''Institutt:''' IMF |
||
| − | |*Foreleser: Eugenia Malinnikova |
||
| + | *'''Vurderingsform:''' Skriftlig eksamen (100 %). |
||
| − | *Stud-ass: [[User:Aursand|Eskil Aursand]] |
||
| + | *'''Hjelpemiddelkode C:''' ''Spesifiserte trykte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt.'' |
||
| − | *Vurderingsform: Skriftlig eksamen (100 %) |
||
| + | *'''Øvingsopplegg:''' Ukentlige skriftlige øvinger (8/12). Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII). |
||
| − | *Eksamensdato: 06.06.2011 |
||
| − | }} |
||
| − | |||
| − | {{Infobox |
||
| − | |Øvingsopplegg vår 2011 |
||
| − | |* Antall godkjente: 8/12 |
||
| − | * Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII) |
||
| − | * Frist: Mandag 12:00 |
||
}} |
}} |
||
== Om faget == |
== Om faget == |
||
| + | === Faglig innhold === |
||
| − | Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner: |
||
| + | |||
| + | Matematikk 3 obligatorisk og ligger i fagplanen for 2. semester. [https://wiki.math.ntnu.no/tma4110 Emnet TMA4110] har samme pensum, men går på høstsemesteret. |
||
| + | |||
| + | Emnet tar for seg følgende emner: |
||
*'''Komplekse tall''' |
*'''Komplekse tall''' |
||
| Linje 24: | Linje 21: | ||
*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger''' |
*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger''' |
||
| − | Tar for seg |
+ | Tar for seg løsning av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter, homogene ligninger med én kjent løsning og metode med variasjon av parametre. |
| − | *'''Matriseregning og |
+ | *'''Matriseregning og lineær algebra''' |
| − | Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet |
+ | Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet |
| − | + | løsning av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger og kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem. |
|
| + | === Anbefalte forkunnskaper === |
||
| − | Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii). |
||
| + | [[TMA4100 - Matematikk 1]] eller tilsvarende. På tross av emnets navn er det ikke nødvendig med Matematikk 2. |
||
| + | === Pensumlitteratur === |
||
| − | ==Viktige matriseidentiter og egenskaper== |
||
| + | Våren 2011 var [http://www.akademika.no/advanced-engineering-mathematics/kreyszig-erwin/erwin-kreyszig/9780470119167 ''Advanced Engineering Mathematics''] (Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens ''Elementary Linear Algebra'' (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii). |
||
| − | ===Konsekvenser av invertiblitet=== |
||
| + | Fra våren 2015 var ''Differential Equations, Linear algebra and its applications'' (Pearson) lærebok i alle tre deler. Denne boken består av utdrag fra flere ulike bøker og er kompilert av IMF. ISBN 978-1-78016-081-8. |
||
| − | Følgende utsagn er ekvivalente: |
||
| + | === Erfaringer === |
||
| − | * A er inverterbar. |
||
| + | == Lenker == |
||
| − | * det(A) ≠ 0. |
||
| + | === Læringsressurser=== |
||
| + | *[[ Faglige notater: TMA4115]] |
||
| + | *[http://video.adm.ntnu.no/serier/4fe2d4d3dce25?vis=liste Videoforelesninger V12] |
||
| + | *[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra] |
||
| + | === Emnerapporter === |
||
| − | * A er radekvivalent med I. |
||
| + | *[https://irom.ivt.ntnu.no/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/Referansegrupperapporter%20%20IME/IMF/TMA4115%20Ref.gr.rapport%202014%20V%C3%A5r.pdf#search=tma4115 Referansegrupperapport V14] |
||
| + | *[https://irom.ivt.ntnu.no/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/_layouts/15/WopiFrame.aspx?sourcedoc=/ivt/adm/kvalitetssikring-utdanning/Emnerapporter%20%20IME/IMF/TMA4115%20Emnerapport%202014%20V%C3%A5r.docx&action=default Emnerapport V14] |
||
| + | === NTNUs sider om emnet === |
||
| − | * <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math> |
||
| + | <!-- Bytt ut koden i lenkene og forandre til riktig semester i timeplanlinken --> |
||
| − | |||
| + | *[https://wiki.math.ntnu.no/tma4115 Fagets hjemmeside] |
||
| − | * <math>Ax=b</math> har én unik løsning. |
||
| − | |||
| − | ===Determinanter=== |
||
| − | NB: Kun definert for n x n-matriser. |
||
| − | |||
| − | * Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større. |
||
| − | |||
| − | * Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn. |
||
| − | |||
| − | * Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret. |
||
| − | |||
| − | * Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar |
||
| − | |||
| − | * det(AB) = det(A)•det(B) |
||
| − | |||
| − | ===Lineær avhengighet=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>. |
||
| − | |||
| − | ===Basis=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom: |
||
| − | |||
| − | * Vektorene i S er lineært uavhengige. |
||
| − | |||
| − | * Vektorene i S utspenner hele V. |
||
| − | |||
| − | ===Rad-, kolonne- og nullrom=== |
||
| − | |||
| − | * Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''. |
||
| − | |||
| − | * En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet. |
||
| − | |||
| − | * Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''. |
||
| − | |||
| − | * Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''. |
||
| − | |||
| − | * ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))'' |
||
| − | |||
| − | *''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''. |
||
| − | |||
| − | *''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''. |
||
| − | |||
| − | *''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''. |
||
| − | |||
| − | ===Ortogonal projeksjon=== |
||
| − | |||
| − | * Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''. |
||
| − | |||
| − | * <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n. |
||
| − | |||
| − | ===Egenvektorer og egenverdier=== |
||
| − | |||
| − | '''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math> |
||
| − | |||
| − | :Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>. |
||
| − | |||
| − | * ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>. |
||
| − | |||
| − | ===Transponerte matriser=== |
||
| − | |||
| − | *En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer. |
||
| − | |||
| − | * <math> (AB)^T = B^TA^T </math> |
||
| − | |||
| − | * A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math> |
||
| − | |||
| − | * Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale. |
||
| − | |||
| − | ===Diagonalisering=== |
||
| − | |||
| − | * De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>. |
||
| − | |||
| − | * A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P. |
||
| − | |||
| − | * A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer. |
||
| − | |||
| − | * Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige. |
||
| − | |||
| − | * A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise. |
||
| − | |||
| − | * For en ortogonal matrise A gjelder: |
||
| − | |||
| − | :# A er kvadratisk. |
||
| − | :# <math>A^T </math> er ortogonal. |
||
| − | :# Radene og kolonnene er ortonormale. |
||
| − | :# <math>A^T = A^{-1}</math>. |
||
| − | :# det(A) = ±1 |
||
| − | |||
| − | ===Nyttige regneregler=== |
||
| − | |||
| − | * <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> |
||
| − | |||
| − | * <math>(AB)^T=B^TA^T</math> |
||
| − | |||
| − | * <math> x \cdot y = x^T y</math> |
||
| − | |||
| − | * det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A) |
||
| − | |||
| − | * det( <math>A^{T}</math> ) = det(A) |
||
| − | |||
| − | * <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math> |
||
| − | |||
| − | == Eksterne linker == |
||
| − | <!-- Byttt ut koden i lenkene og forandr til riktig semester i timeplanlinken --> |
||
*[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse] |
*[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse] |
||
| − | *[http://www.ntnu.no/ |
+ | *[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115/2014#tab=timeplan Timeplan] |
| + | *[http://www.ntnu.no/studier/emner/TMA4115/2014#tab=omEksamen Eksamensinformasjon] |
||
| − | *[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra] |
||
[[Kategori:Obligatoriske emner]] |
[[Kategori:Obligatoriske emner]] |
||
Nåværende revisjon fra 26. apr. 2016 kl. 10:27
|
|
Innhold
Om faget
Faglig innhold
Matematikk 3 obligatorisk og ligger i fagplanen for 2. semester. Emnet TMA4110 har samme pensum, men går på høstsemesteret.
Emnet tar for seg følgende emner:
- Komplekse tall
En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.
- Andre ordens ordinære lineære differensialligninger
Tar for seg løsning av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter, homogene ligninger med én kjent løsning og metode med variasjon av parametre.
- Matriseregning og lineær algebra
Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet løsning av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger og kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.
Anbefalte forkunnskaper
TMA4100 - Matematikk 1 eller tilsvarende. På tross av emnets navn er det ikke nødvendig med Matematikk 2.
Pensumlitteratur
Våren 2011 var Advanced Engineering Mathematics (Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens Elementary Linear Algebra (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii).
Fra våren 2015 var Differential Equations, Linear algebra and its applications (Pearson) lærebok i alle tre deler. Denne boken består av utdrag fra flere ulike bøker og er kompilert av IMF. ISBN 978-1-78016-081-8.
