Brownsk bevegelse av ellipsoider - Sideversjonshistorikk

Froydisf: /* Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler */

2009-04-19T15:27:44Z

Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. apr. 2009 kl. 15:27
Linje 93:		Linje 93:
	tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å		tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
	bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over		bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
	lengre tid.		lengre tid. Et annet viktig faktum som gjorde eksperimentet mye enklere var at man i senere tider var i stand til å lage kunstige perfekte ellipsoiske partikler - en nødvengihet for å få nøyaktige resultat. Dette utnyttet gruppen fra Pennsylvania.
	Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet		Førsøkene deres bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
	bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers		bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
	tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.		tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Froydisf: /* Brownsk bevegelse av sfæriske partikler */

2009-04-19T15:24:30Z

Brownsk bevegelse av sfæriske partikler

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. apr. 2009 kl. 15:24
Linje 49:		Linje 49:

	Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.		Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
	Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en ~~Gaussisk~~ fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.		Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

	==2D simulering med MATLAB==		==2D simulering med MATLAB==

Froydisf: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

2009-04-19T15:23:30Z

Ellipsoidiske partikler og diffusjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. apr. 2009 kl. 15:23
Linje 28:		Linje 28:


	For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:		For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math>, friksjonskoeffisienten variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

	<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og		<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

Froydisf: /* Brownsk bevegelse */

2009-04-19T15:21:54Z

Brownsk bevegelse

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 19. apr. 2009 kl. 15:21
Linje 6:		Linje 6:
	=Brownsk bevegelse=		=Brownsk bevegelse=
	Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et		Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
	enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.		enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur, dvs at han observerte det samme fenomenet da han så på uorganisk materiale som sot.
	Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on		Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on
	the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra		the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
Linje 14:		Linje 14:

	==Eksperimentielt==		==Eksperimentielt==
	Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. ~~Det var~~ en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania ~~som studerte~~ denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å ~~studere~~ Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.		Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Så sent som i 2006 studerte en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å obsevere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for så å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

	=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=		=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

2009-04-15T09:09:24Z

Ellipsoidiske partikler og diffusjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 15. apr. 2009 kl. 09:09
Linje 34:		Linje 34:
	<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.		<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

	I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av ~~diffusjonsvinkelen~~, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved		I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

	<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>		<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

			der

			<math>D_\theta = \frac{k_B T}{\zeta_\theta}</math>

			<math>D_\theta</math> og <math>\tau_\theta</math> visker ut retningsminnet og vil gi en overgang fra anisotropisk diffusjon, for korte tidsrom, til isotropisk diffusjon for tider mye lengere enn <math>\tau_\theta</math>.

			(Dette er ikke tatt hensyn til under MATLAB simulasjonen nedenfor.)

	=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=		=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Toreskas: /* Brownsk bevegelse */

2009-04-12T14:33:03Z

Brownsk bevegelse

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. apr. 2009 kl. 14:33
Linje 7:		Linje 7:
	Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et		Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
	enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.		enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
	Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("~~On the movement~~		Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on
	~~of small particles suspended in a stationary liquid demanded by~~ the ~~molecular-kinetic~~ theory		the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
	of ~~heat~~"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
	termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.		termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
	For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til		For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
Linje 15:		Linje 14:

	==Eksperimentielt==		==Eksperimentielt==
	Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.		Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

	=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=		=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
	[[Image:ellipsoid(2).jpg\|400px\|thumb\|right\|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]		[[Image:ellipsoid(2).jpg\|400px\|thumb\|right\|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]

Toreskas på 12. apr. 2009 kl. 14:28

2009-04-12T14:28:43Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. apr. 2009 kl. 14:28
Linje 9:		Linje 9:
	Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement		Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
	of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory		of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
	of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra		of heat"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
	termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.		termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
	For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til		For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

2009-04-12T14:23:52Z

Ellipsoidiske partikler og diffusjon

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. apr. 2009 kl. 14:23
Linje 21:		Linje 21:
	De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk		De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
	partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik		partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
	langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:		langs x- og y-retning.

			''Generell'' friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

	<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,		<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
	der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.		der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.


	For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:		For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

Toreskas: /* 2D simulering i MATLAB */

2009-04-12T14:21:24Z

2D simulering i MATLAB

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. apr. 2009 kl. 14:21
Linje 111:		Linje 111:
	==2D simulering i MATLAB==		==2D simulering i MATLAB==
	[[Bilde:ellipsMrot.jpg\|700px\|thumb\|left\|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]		[[Bilde:ellipsMrot.jpg\|700px\|thumb\|left\|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
	Følgende ~~programkode~~ ble brukt:		Følgende funksjon ble brukt:
	----		----
	----		----
Linje 120:		Linje 120:
	''steps = 1000;''		''steps = 1000;''

	''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor ~~lang~~ en partikkel diffunderer i x-retning.''		''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

	''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor ~~lang~~ en partikkel diffunderer i y-retning.''		''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

	''C=(2pi)rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''		''C=(2pi)rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

Toreskas: /* 2D simulering med MATLAB */

2009-04-12T14:19:45Z

2D simulering med MATLAB

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 12. apr. 2009 kl. 14:19
Linje 43:		Linje 43:
	==2D simulering med MATLAB==		==2D simulering med MATLAB==
	[[Bilde:ellipsurot.jpg\|700px\|thumb\|left\|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]		[[Bilde:ellipsurot.jpg\|700px\|thumb\|left\|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]



	Følgende funksjon ble brukt:		Følgende funksjon ble brukt: