NanoWiki - Brukerbidrag [nb]

Hovedekskursjon 2010

2009-06-17T13:31:58Z

Toreskas: /* Annet */

Denne artikkelen inneholder informasjon om hovedekskursjonen til MTNANOs kull 2007. Det er bestemt at reiemålet blir Kinas hovedstad Beijing og omegn.

= Tidsplan =
* 24.03.2009: Deadline for [http://www.timini.no/forum/viewtopic.php?t=1622 idémyldring på forumet]
* 04.05.2009 10:15-12:00, R3: Allmøte med presentasjon av reisemålene og avstemming
* 19.03.2010: Planlagt avreise
* 09.04.2010: Planlagt hjemreise

=Om Kina som reisemål=

===Drillo-fakta===

===Nanoteknologi-bedrifter===

'''Advapowder'''
Produces nanoscale diamond powder.

'''AgroMicron'''
The company develops Rapid Early Detection products. These products identify possible pathological threats from bioterrorism to pathogens plaguing global agriculture, animals and people. Test arrays include nanoscale molecule detection techniques.

'''AlphaNano Technology'''
A manufacturer of carbon nanotubes and other nanoparticles.

'''Anson Nanotechnology Group'''
Manufactures nanoparticulate antibacterial dressings.

'''Arry International Group Limited'''
Supplier of a wide variety of nano materials, including carbon nanotubes (CNTs) and nano elements as as well as nano oxides (rare earth, metal, and non-metal).

'''Beijing Chamgo Nano-Tech'''
Manufactures antimicrobial fibers and plastics and nanocomposite materials.

'''Beijing HuiHaihong Nano-ST'''
The company is mainly engaged in the application research of nanometer-structured material, R&D of new products, technology transfer, technical consultation, technical service, production and management of the newly developed products.

'''Chengdu Alpha Nano Technology'''
A supplier of carbon nanotubes and various nanopowders.

'''Chengdu Organic Chemistry Co.'''
Producer of carbon nanotubes.

'''Chengyin Technology'''
Producer of nanoparticles.

'''China Rare Metal Material'''
CRM offers a wide range of nanoparticulate specialist metals, oxides, alloys and inorganic chemical compounds.

'''Chongyi Zhangyuan Tungsten Co., Ltd.'''
Producer of tungsten and tungsten carbide nanopowders.

'''EnvironmentalCare'''
Manufactures nano-TiO2 catalytic surface coating materials.

'''FCC'''
The company produces 6 series of more than 20 different items bentonite refined products,including NANOLIN series of nanoclay.

'''Futuresoft Technologies'''
Futuresoft Technologies Inc. is specialized in technologies in plastic materials, their processing equipment and processed products. FTI offers turn-key production systems of wood-plastic composite, extruders, and dies, especially profile dies for wood-plastic, PVC, and TPE. Their polymer nanocomposite technology has been able to make the composite to have much higher property enhancement than those by other technology.

'''HeFei Kaier Nanometer Technology Development Co.'''
Specializes in nitride and carbide series of nanoparticle ceramic powders.

'''HeJi, Inc.'''
Producer of carbon nanotubes.

'''Huizhou TianYi Rare Material'''
Manufacturer of nanopowders.

'''Jiangsu Changtai Nanometer Material Co, Ltd.'''
Producer of nanoparticles.

'''Jinri Diamond'''
The company produces diamond abrasives. Among its products are nanodiamond materials.

'''NaBond'''
Focused on development, manufacture and application of nanomaterials and adhesives.

'''Nano-Group Holdings'''
Provides nanotechnology applications for the textile and garment industries.

'''Semiconductor Manufacturing International Corporation (SMIC)'''
SMIC is one of the leading semiconductor foundries in the world and the largest and most advanced foundry in Mainland China, providing integrated circuit manufacturing service at 0.35 micron to 65 nanometer and finer line technologies.

'''Shanghai ADD Nano-ST'''
Manufactures PTFE nanopowders for printing, dyeing, and cosmetic applications.

'''ShangHai Allrun Nano Science & Technology'''
Allrun Nano's technologies consist of distinct nanomaterial manufacturing processes, surface treatment technologies of nanomaterial, and its bio-medical application technologies. Allrun Nano has created an integrated platform of nanomaterial technologies that are designed to deliver nanomaterial solutions for market applications.

'''Shanghai Huzheng Nano Technology'''
Producer of wide range of nanoparticles, coating supplements and finishing agents.

'''Shanghai Shanghui Nano Science and Technology'''
The company specializes in the R&D, production and distribution of high-tech industrial products of nanomaterials. In possession of its own centre of R&D and integrating production with industrialization, the company cooperates with colleges and scientific institutions with regard to the projects of nanomaterials and technologies.

'''Shenzen Nano-Technologies Port Co., Ltd.'''
Producer of carbon nanotubes.

'''Shenzhen JinGangYuan New Material Development'''
The company specializes in developing and manufacturing nanodiamond and other related products.

'''Shenzhen Junye Nano Material Co.'''
Produces metal nanoparticles.

'''Shenzhen Nanotechnologies'''
The company is focusing on the R&D, manufacture and application of carbon nanotubes.

'''Sokang Nano'''
Develops several lines of nanotech product including nano coating, nano coating additive, nano air cleaner module and nano water cleaning module.

'''Sumi Long Nanotechnology Materials'''
(Site in Chinese) A subsidiary of Sumitomo Osaka Cement, the company develops and manufactures antimagnetic, anti-reflection coatings with nanoparticles.

'''Sun Nanotech Co, Ltd.'''
Supplier of carbon nanotubes.

'''Texnology Nano Textile'''
Applies nanocoatings to textile fibers and materials.

'''TiPE'''
TiPE is a leading nano photocatalyst manufacturer in China, with its proprietary advanced Nano-hydrosynthetic™ technology. TiPE also is the biggest hydrosynthetic photocatalyst manufacturer in China.

'''TitanPE Technology (Shanghai) Inc.'''
Produces nano photocatalysts.

'''Yantai Jialong Nano Industry'''
The company conducts research and development of nanomaterials. It is the 863 Program Industrialization Base, Shandong Nanocoating Engineering & technology Research Center and Yantai Nano Engineering & Technology Research Center.

'''Zhejiang Fenghong Clay Chemicals'''
Engages in research, development, manufacture and trade of refined clay related products such as organoclay rheological additives ornanoclay for polymers.

'''Zibo ShineSo Chemical New Material'''
ShineSo specializes in the R&D, manufacturing distribution and technical service of advanced ceramic materials including nanopowders.

===Økonomi===

I følge pintprice.com er det store geografiske variasjoner i ølprisene i Kina; fra under 2 kr i Changchun til over 40 kr i Shanghai. I Beijing er prisen ca 10 kr.

===Attraksjoner===

===Universiteter med samarbeidsavtaler med NTNU===

===Forslag til steder å dra 3.uke===
* Sanya

Average Data Apr

Average High (C) 29/31

Average Low (C) 23/25

Rain (mm) 30/35

[[Bilde:Sanya.jpg]]

===Annet===
I Kina selges det ikke tamponger av noe slag. Kilde: Frisør Tango Ulefoss

=Forslag til reisemål som ble forkastet=

==California==

===Drillo-fakta===
Hovedstad: Sacramento

Guvernør: Arnold Schwarzenegger (R)

===Nanoteknologi-bedrifter===

Silicon Valley ligger den sørlige derlen av San Fransico Bay Area i Northern California og har fått navnet sitt på grunn av områdets høye konsentrasjon av innovative elektronikkbedrifter. Med tiden har dette området blitt et slags symbol på nyskapning, entrepenørskap og ingeniørbragder. Silicon Valley er USAs ledende high-tech industriområde med bedrifter som (med forbehold om at ikke alle er direkte nanorelevante):
*'''Advanced Micro Devices (AMD)'''
*Apple Inc.
*'''Applied Materials'''
*Google
*[http://www.intel.com/ '''Intel''']
*LSI Logic
*'''National Semiconductor'''
*Sun Microsystems
*Asus
*Atari
*Cypress Semiconductor
*Facebook
*'''IBM Almaden Research Center'''
*Opera Software
*Tesla Motors
*'''Sun Power'''
*NASA Ames Research Center
*Quantum Dot Corporation

===Økonomi===
*Visum
**Må ha elektronsik pass, for nytt pass 450 NOK (Kilde: politi.no)
**Koster 750 NOK (Kilde: Den amerikanske ambassade)
*Reiseforsikring
**Kan gjøres billig, eller f.eks. Europeiske, verden helår: 1215 NOK
*Flybilletter
**Trondheim - San Francisco apprxo. 7 000 - 8 000 NOK (Kilde: kelkoo.no)
**Oslo - San Francisco ned mot 5 000 NOK (Kilde: kelkoo.no)
*Overnatting
**approx. 200 NOK night^-1 for hostel (Kilde: hostels.com)
*Øl
**25-35 NOK arbitary beer unit^-1. I byen Chico kan man imidlertid få en duggfrisk til under 12 kr (Kilde: pintprice.com).

===Attraksjoner===

*San Fransisco
**Alcatraz
**Golden Gate
**Golden Gate Park
**Myth Busters + lignende serier fra Discovery Channel?
**Twin peaks
*Los Angeles
**Santa Monica Beach
**Venice Beach
**Hollywood
**Long Beach
**Beverly Hills
*San Diego
** Varme, digge sandstrender
*Tijuana, Mexico
**Beryktet natteliv
*Central Valley
**Sierra Nevada Mountains, 800 miles med turmuligheter
**Kul ørken
*Santa Barbara
** vakre strender og surfere

===Universiteter===
*California Institute of Technology (CALTECH)
**Kavli nanoscience institute driver forskning blant annet innen bionanoteknologi og nanofotinikk
*University of California @ Berkeley, San Diego og Santa Barbara
**Har utvekslingsavtale med NTNU

===Annet===
*Infrastruktur
** lav språkbarriere
** Relativt bra og billig togtransport innenfor staten, for eksempel har Bay Area Rapid Transit typsisk 15 min ruter mellom San Francisco Peninsula og Oakland, Berkeley, Fremont, Walnut Creek og andre byer i East Bay.

==Vest-Europa==

===Drillo-fakta===

===Nanoteknologi-bedrifter===

===Økonomi===

Vanlige ølpriser er Frankrike er ca 50 kr i følge pintprice.com. 40 kr er typisk i Barcelona, mens man i Sveits slipper unna med 35 kr.
[[Image:Inter.jpg|left|thumb|500px|]]

===Attraksjoner===
*Frankrike
** Paris!
** Vinsmaking i Bourgogne, Champagne eller Bordeaux

===Universiteter med samarbeidsavtaler med NTNU===
*Frankrike
** INSA Toulouse
** UTT
**Université de téchnologie de Compiègne
**INPG - ENSIMAG
**Ecole Superieure d'Ingenieurs de Marseille
**Ecole National Chimie de Paris
**Université de Poitiers
**Institut National Polytechnique de Grenoble

Bare i Paris er det 7 universiteter, 6 "grandes écoles" og 84 instutisjoner som kommer under den nasjonale handlingsplanen for nanoteknologi i Frankrike.

===Annet===

==Japan==

===Drillo-fakta===
Hovedstad: Tokyo

Innbygggertall: 127 millioner

Språk: Japansk

===Nanoteknologi-bedrifter===

===Økonomi===

Pintprice.com hevder at snittprisen på en øl i Japan er 35 kr. I hovedstaden Tokyo er prisen opp mot 50-lappen.

===Attraksjoner===
Byen Nagano (De japanske Alper)
De fleste kjenner Nagano som vertsby for vinter-OL 1998. Byen er den største i området og blant dens fineste severdighet er Zenkoji tempelet som absolutt bør ses hvis man kommer til de japanske alpene.

Skiområdet (De japanske Alper)
De berømte skisportsstedene ligger et stykke utenfor Nagano. Mange av de beste skiområdene ligger i Shiga platået og i nasjonalparken Joshin-Etsu Kogen Kokuritsu -Koen. Innimellom alle disse skisportsstedene ligger mange deilige kursteder.

De fem sjøene ved Fuji (Fujiyama)
I nærheten av Fuji ligger De fem sjøene. Sjøene er berømte for deres skjønnhet og det er mulig å dyrke vannsport ved sjøene. Det er også forlystelsesparker i området. Man kommer lettest ut til sjøene med buss eller svevebane.

Kursteder ved Hakone (Fujiyama)
Hvis man er til kursteder og varme kilder bør man reise til Hakone. De fleste kurstedene ligger omkring Ashinoko sjøen. Prøv en seiltur på sjøen eller ta svevebanen eller toget til Owakudani hvor de fleste varme kildene ligger.

Atombombekuppelen (Genbaku Domu) (Hiroshima)
Genbaku Domu er det siste som står tilbake av vitnesbyrd på atombombens ødeleggelser i 1945. Opprinnelig var bygningen en industrihall, men stålskjelettet som står tilbake minner om en langt vakrere bygning. Bygningens minner om blodig fortid står i skarp kontrast til nåtidens Hiroshima.

Hiroshima borgen (Hiroshima)
Hiroshima borgen er, som alt annet i Hiroshima, ikke mer enn 55 år gammel. Allikevel lever borgen opp til alle ens fantasier om gammel japansk middelalderborg. I tårnet er det en spennende utstilling med våpen og rustninger.

Torii porten (Hiroshima)
Torii porten ligger 20 kilometer fra Hiroshima. De fleste vil gjenkjenne den fra bilder og film om Japan uten å kjenne den ved navn. Torii porten er 17 meter høy, bygget av rødt tre og står midt ute i vannet utenfor Shintotempel øyen Miyajima. Nyt også den praktfulle naturen på øyen.

Fjellet Fuji (Japan)
Fuji er Japans høyeste fjell. Offisielt kan man kun bestige Fuji i juli og august, men det kan i virkeligheten gjøres hele året, selv om det krever en del rutine i vinterhalvåret. Skiltingen er god og man går seg ikke bort.

Meiji Jingu Tempelet (Tokyo)
Tempelet er imponerende og ligger i en av Tokyos vakre parker og er blant de helligste i Japan. Nyttårsdag besøker mange japanere dette tempelet iført kimonoer. Tempelet er dedikert til keiser Meiji som i sin tid åpnet Japan for omverdenen. Tempelet inneholder mange av keiserens personlige eiendeler. Parkens irishage er blant Japans vakreste.

Sanjusangendo Tempelet (Kyoto)
Sanjusangendo tempelet i Kyoto er et imponerende stort tempel. Det stod ferdig i 1266 og de 1001 statuene er et av Kamukara periodens mesterverker. Den 15. januar holdes den årlige bueskytingskonkurransen. En tradisjon som stammer fra det 16. århundre.

Gullpaviljongen (Kyoto)
Kinkakuji (gullpaviljongen) er en av Kyotos absolutte severdigheter. Tempelet ble oppført i det 14. århundre, men måtte gjenoppføres i 1955 etter at en sinnsyk tempelprest brendte det ned. Tempelet er dekket med bladgull og er en nøyaktig kopi av det gamle Kinkakuji.

Keiserpalasset i Kyoto (Kyoto)
Keiserpalasset er en av de få serverdigheten i Kyotos sentrum. Det nåværende palasset ble oppført i 1855 som erstatning for et tidligere nedbrendt palass. Palasset kan kun besøkes i grupper. Rundvisningene er veldig ettertraktet og det kan anbefales å søke om plass til disse turene allerede en dag i forveien.

Byen Nara (Nara)
Byen Nara ligger en halv times togtur fra Kyoto. I Nara gjenfinner man Kyotos særlige atmosfære. Byen ble i 710 Japans første permanente hovedstad og har mange velbevarte templer. I Nara Park går det tamme hjort rundt mellom templene.

Borgen i Himeji (Osaka)
Himeji ligger halvannen times togtur fra Osaka. Byen rommer kanskje Japans vakreste borg som mange nok vil huske fra tv-serien "Shogun". Den Hvite Hejres Borg (Shirasagi-jo) er et fantastisk byggeri som med sine hvite murer og kurvede tegltak emmer av østens mystikk, innvendig som utvendig. Til borgen er det knyttet to museer og den berømte kirkegården Nagayama.

Borgen i Osaka (Osaka)
Borgen i Osaka byr på våpen og maleriutstillinger. Borgen er opprinnelig fra det 16. århundre, men har brendt ned et par ganger siden. Borgen er restaurert og har innvendig heis. Ved siden av borgen ligger Osaka bymuseum med samlinger relatert til byens historie samt en mindre keramikksamling.

Senri Expo Park (Osaka)
Litt nord for Osaka ligger Senri Expo Park hvor Expo ble holdt i 1970. Her finner man blant annet den vakre landskapshagen som ble anlagt i forbindelse med Expo utstillingen. Det hører også et etnologisk museum til parken hvor det utstilles ting og film fra hele verden.

Bryggeriet i Sapporo (Sapporo)
På Sapporos bryggeri kan alle ølelskere komme på en gratis rundvisning og smake den gode japanske bryggekunst.

Nakajima Koen parken (Sapporo)
Ønsker man en forsmak på Hokkaidos skjønne natur bør man besøke Nakajima Koen parken. Her kan man slappe av i parkens landskapshage og besøke det historiske tehuset.

Disneyland i Tokyo (Tokyo)
Disneyland i Tokyo er en tro kopi av Disneyland i California og har de samme attraksjonene. Forlystelsesparken ble innviet i 1983 og har vært en enorm suksess siden. Hvis man ennå ikke har opplevd Disneyland bør man gripe sjansen her. For å unngå trengsel bør man dra der i hverdagene.

Ginza distriktet (Tokyo)
Litt sydøst for keiserpalasset ligger Ginza distriktet hvor den mest kjøpelystne kan slå seg løs. Her ligger det mange spesialbutikker og stormagasiner. I kvarteret kan man finne mange utenlandske aviser og tollfrie butikker.

Keiserpalasset (Tokyo)
Keiserpalasset er en av de severdighetene man bør besøke under oppholdet i Tokyo. Det er ikke adgang til selve palasset hvor keiserfamilien bor, men gå en tur i parken og nyt utsikten innover palasset.

===Universiteter med samarbeidsavtaler med NTNU===

===Annet===

==Singapore og Malaysia==

===Drillo-fakta===

===Nanoteknologi-bedrifter===

===Økonomi===

En øl kan fås til 20 kr i Singapore i følge pintprice.com, men man må regne med minst det dobbelte mange steder. Snittprisen i Malaysia er 37 kr.

===Attraksjoner===

===Universiteter med samarbeidsavtaler med NTNU===

===Annet===

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-15T09:09:24Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on
the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning.

''Generell'' friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

der

<math>D_\theta = \frac{k_B T}{\zeta_\theta}</math>

<math>D_\theta</math> og <math>\tau_\theta</math> visker ut retningsminnet og vil gi en overgang fra anisotropisk diffusjon, for korte tidsrom, til isotropisk diffusjon for tider mye lengere enn <math>\tau_\theta</math>.

(Dette er ikke tatt hensyn til under MATLAB simulasjonen nedenfor.)

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende funksjon ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:33:03Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on
the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning.

''Generell'' friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende funksjon ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:28:43Z

Toreskas:

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning.

''Generell'' friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende funksjon ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:23:52Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning.

''Generell'' friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende funksjon ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:21:24Z

Toreskas: /* 2D simulering i MATLAB */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende funksjon ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:19:45Z

Toreskas: /* 2D simulering med MATLAB */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:19:14Z

Toreskas: /* 2D simulering med MATLAB */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:18:35Z

Toreskas: /* 2D simulering med MATLAB */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende funksjon ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:16:50Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math> variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende programkode ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T14:15:54Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil \zeta variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende programkode ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-12T12:46:53Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler */

Under construction
=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil \zeta variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og
<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved
<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Følgende programkode ble brukt:

----
----

''function coin=kast(a,b)''

''A=randn(a,b);''

''B=randn(a,b);''

''Coin=A''

''Tail=B;''

''cs=cumsum(Coin);''

''ps=cumsum(Tail);''

''plot(ps,cs)''

''end''

----
----

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0
og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen.
Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur.
Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien
som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak
av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde
tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene
tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å
bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over
lengre tid.
Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet
bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers
tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem)
ned i x,y-planet:
:<math>
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
A \\
B \\
\end{bmatrix}

</math>

==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
Følgende programkode ble brukt:
----
----
''x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse''

''y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse''

''steps = 1000;''

''A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i x-retning.''

''B=randn(steps,10); %Et mål på hvor lang en partikkel diffunderer i y-retning.''

''C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel''

''X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet''

''Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet''

''cs=cumsum(X);''

''ps=cumsum(Y);''

''plot(cs,ps)''

----
----

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen
steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen
langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi
gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det
faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen.
Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens
plot-funksjonen plotter de to summene.

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-09T20:49:18Z

Toreskas:

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-09T20:35:54Z

Toreskas:

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-09T20:34:00Z

Toreskas: /* 2D simulering med MATLAB */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil \zeta variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og
<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved
<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot.jpg|700px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.
==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|600px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Fil:Ellipsurot.jpg

2009-04-09T20:32:08Z

Toreskas:

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-09T20:28:48Z

Toreskas:

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil \zeta variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og
<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved
<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|center|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.
==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|600px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-09T20:28:13Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil \zeta variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og
<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonsvinkelen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved
<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|center|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.
==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|600px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-04T11:52:06Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse av sfæriske partikler */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

=Brownsk bevegelse av sfæriske partikler=

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==2D simulering med MATLAB==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|center|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.
==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|600px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-04T11:50:56Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|center|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

=Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler=
De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.
==2D simulering i MATLAB==
[[Bilde:ellipsMrot.jpg|600px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Fil:EllipsMrot.jpg

2009-04-04T10:24:55Z

Toreskas:

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-04T10:11:58Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse av sfæriske partikler */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|center|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-04T10:11:04Z

Toreskas: /* Brownsk bevegelse av sfæriske partikler */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
[[Bilde:ellipsurot(1).jpg|400px|thumb|left|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]
[[Bilde:ellipsurot(2).jpg|400px|thumb|right|Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler. ]]

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Fil:Ellipsurot(2).jpg

2009-04-04T09:59:14Z

Toreskas: Brownsk bevegelse u/ rotasjon. 1000steps, 10partikler

Brownsk bevegelse u/ rotasjon. 1000steps, 10partikler

Fil:Ellipsurot(1).jpg

2009-04-04T09:58:45Z

Toreskas: Brownsk bevegelse u/ rotasjon. 1000steps, 10partikler

Brownsk bevegelse u/ rotasjon. 1000steps, 10partikler

Fil:EllipsMrot(2).jpg

2009-04-04T09:58:05Z

Toreskas: Brownsk bevegelse med rotasjon. 1000steps, 10partikler

Brownsk bevegelse med rotasjon. 1000steps, 10partikler

Fil:EllipsMrot(1).jpg

2009-04-04T09:57:31Z

Toreskas: Brownsk bevegelse med rotasjon. 1000steps, 10partikler

Brownsk bevegelse med rotasjon. 1000steps, 10partikler

Fil:Ellipsoid.jpg

2009-04-04T09:51:26Z

Toreskas:

Fil:Ellipsoidm(1).jpg

2009-04-04T09:49:53Z

Toreskas: Brownian motion; 10 partikler, 1000 steps.

Brownian motion; 10 partikler, 1000 steps.

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-04T09:43:41Z

Toreskas: /* Ellipsoidiske partikler og diffusjon */

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
[[Image:ellipsoid(2).jpg|400px|thumb|right|Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.]]
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Fil:Ellipsoid(2).jpg

2009-04-04T09:42:16Z

Toreskas: Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem

Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-02T13:16:38Z

Toreskas:

=Innledning og motivasjon=
Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009.
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

=Brownsk bevegelse=
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Eksperimentielt==
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

=Ellipsoidiske partikler og diffusjon=
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

=Hva kan dette brukes til?=
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

=References=

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-04-02T13:12:52Z

Toreskas:

==Innledning og motivasjon==
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

==Brownsk bevegelse==
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

=Eksperimentielt=
Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

==Ellipsoidiske partikler og diffusjon==
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

==Hva kan dette brukes til?==
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

==References==

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-03-23T13:33:55Z

Toreskas:

==Innledning og motivasjon==
Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

==Brownsk bevegelse==
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Ellipsoidiske partikler og diffusjon==
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> ,
der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

==Brownsk bevegelse av sfæriske partikler==
Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen.
Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.

==Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler==

==Hva kan dette brukes til?==
Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

==References==

<references/>

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-03-23T13:27:40Z

Toreskas:

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-03-23T13:10:13Z

Toreskas:

==Brownsk bevegelse==
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

==Ellipsoidiske partikler og diffusjon==
De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk
partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik
langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math>
Der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

Brownsk bevegelse av ellipsoider

2009-03-19T10:10:25Z

Toreskas: Ny side: #'''Brownsk bevegelse''' Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikke...

#'''Brownsk bevegelse'''
Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et
enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur.
Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement
of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory
of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra
termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon.
For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til
en ikke Gaussisk fordeling.

Diskusjon:Kjellerstyret

2008-10-21T15:24:34Z

Toreskas:

Hører dette her hjemme på nanowikien?

--[[Bruker:Beckwith|beckwith]] 15. okt 2008 kl. 12:05 (UTC)

Si det... Det må i alle fall være alt eller ingenting. --[[Bruker:Mariusuv|Mariusuv]] 15. okt 2008 kl. 17:04 (UTC)

Ja, og i dette tilfellet synes jeg ingenting er et mer passende alternativ. Det er tre grupper som er logiske å ha her: Fagteamet, siden de har faglige tilknytninger, infodep, siden de drifter siden og er de man må kontakte hvis noko er gale, og Timini, med en minimal beskrivelse slik siden er i dag. Resten finner man på Timinisiden. Så jeg synes både Timini Idrett og kjellerstyret sine sider bør slettes.

--[[Bruker:Beckwith|beckwith]] 18. okt 2008 kl. 08:35 (UTC)

For å oppsummere dette så er det da kun nødvendig med fag og utveksling og litt til som [[Linjeforening]]? Ikke ment sarkastisk, men kan vel leses sånn, så jeg bare vil ha opp det at noen burde drive 'sensur' etter en mal. --[[Bruker:Mariusuv|Mariusuv]] 18. okt 2008 kl. 13:53 (UTC)

Tror jeg er enig med Kai her. Wikien er ment som en fagwiki uten å egentlig være tilknyttet Timini på annen måte enn at det er infodep som drifter den og at det i utgangspunktet er timinis medlemmer som har skrivetilgang. Flere meninger om saken? --[[Bruker:Audunnys|Audunnys]] 18. okt 2008 kl. 14:08 (UTC)

Så da er det bare fag og utveksling nanowikien tar for seg. Da er det vel en mal for innhold. --[[Bruker:Mariusuv|Mariusuv]] 18. okt 2008 kl. 14:23 (UTC)

Det er forsåvidt en del gode poenger som dukker opp her. Vi har aldri definert noen retningslinjer for hva denne wikien skal inneholde og bør derfor være litt forsiktig med å drive sensur. Det man i alle fall kan si er at dette ikke er en Timiniwiki, så alle timini-team som presenteres her må understrekes at de tilhører linjeforeningen Timini. Man kunne eventuelt vurdert å opprette en kategori:timini og putte slike ting der? Jeg er forøvrig ENIG i at Kjellerstyret ikke har noe i nanowikien å gjøre, jeg ønsker bare å påpeke at vi bør ha klare retningslinjer for hva som skal og ikke skal være her før vi sletter noe. --[[Bruker:Goranb|Goranb]] 19. okt 2008 kl. 15:55 (UTC)

Åja,har visst misforstått litt jeg da=/
Tenkte at siden logoen til sida er Timinilogoen(eller det jeg forbinder med timini),ville det være ok å legge ut tiministuff her også...
Men kan slette sida, no big deal. Bare kjeda meg litt en dag....=P
Forøvrig enig med at noen retningslinjer hadde vært fint!

Fikk forresten ikke til å slette,jeg,så nå er det bare en overskrift...

Kjellerstyret

2008-10-21T15:22:53Z

Toreskas: Tømmer siden

Diskusjon:Kjellerstyret

2008-10-21T15:22:20Z

Toreskas:

Kjellerstyret

2008-10-14T17:01:57Z

Toreskas:

Kjellerstyret drifter nanokjelleren på Moholt studentby, HK21. Kjelleren er åpen hver fredag fra 19:00-24:00, samt enkelte lørdager til kl.03:00.
Alle medlemmer av Timini kan benytte kjelleren til private arrangement; ta kontakt med kjellersjefen.

'''Kjellerstyret 08/09'''

Kjellersjef: Oda Toreskås (toreskas@stud.ntnu.no)

Barsjef: Ingrid Snustad

Promillesjef: Line Rude Jacobsen

Forsyningssjef: Sara Westrøm

Økonomisjef: Jonathan Torstensen

Blæstsjef: Susanne Linn Skjærvø

Kjellerstyret

2008-10-14T16:40:57Z

Toreskas: Ny side: Kjellerstyret drifter nanokjelleren på Moholt studentby, HK21. Kjelleren er åpen hver fredag fra 19:00-24:00, samt enkelte lørdager til kl.03:00. Alle medlemmer av Timini kan benytte kj...

Kjellerstyret drifter nanokjelleren på Moholt studentby, HK21. Kjelleren er åpen hver fredag fra 19:00-24:00, samt enkelte lørdager til kl.03:00.
Alle medlemmer av Timini kan benytte kjelleren til private arrangement; ta kontakt med kjellersjefen.

Kjellerstyret 08/09:

Kjellersjef: Oda Toreskås (toreskas@stud.ntnu.no)

Barsjef: Ingrid Snustad

Promillesjef: Line Rude Jacobsen

Forsyningssjef: Sara Westrøm

Økonomisjef: Jonathan Torstensen

Blæstsjef: Susanne Linn Skjærvø