NanoWiki - Brukerbidrag [nb]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-05T08:11:57Z

Snorreri: /* Lineær avhengighet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math>) = 1/det(A)

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:30:32Z

Snorreri: /* Nyttige regneregler */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math>) = 1/det(A)

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:28:54Z

Snorreri: /* Transponerte matriser */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:26:55Z

Snorreri: /* Nyttige regneregler */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:26:05Z

Snorreri: /* Nyttige regneregler*/

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y </math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:21:37Z

Snorreri: /* Transponerte matriser */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:21:08Z

Snorreri: /* Transponerte matriser */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk, n x n-matrise A er ortogonale.

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:19:27Z

Snorreri: /* Symmetriske matriser */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder:

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

* A er symmetrisk dersom <math> A = A^T </math>

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:17:09Z

Snorreri: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T07:22:27Z

Snorreri: /* Egenvektorer og egenverdier */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T19:09:18Z

Snorreri: /* Determinanter (kun definert for n x n-matriser) */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:53:28Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:51:05Z

Snorreri: /* Eksterne linker */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:50:39Z

Snorreri: /* Eksterne linker */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT Open Course Ware Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:49:41Z

Snorreri: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

* de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:48:33Z

Snorreri: /* Symmetriske matriser */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

* <math> A = A^T </math>

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:48:09Z

Snorreri: /* Egenvektorer og egenverdier */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:46:58Z

Snorreri: /* Egenvektorer og egenverdier */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lamba</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:46:24Z

Snorreri: /* Egenvektorer og egenverdier */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:46:07Z

Snorreri: /* Egenvektorer og egenverdier */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: :<math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:45:38Z

Snorreri: /* Ortogonal projeksjon */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:45:15Z

Snorreri: /* Rad-, kolonne- og nullrom */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:44:09Z

Snorreri: /* Rad-, kolonne- og nullrom */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

# ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''
#''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.
#''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.
#''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:39:59Z

Snorreri: /* Basis */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:39:03Z

Snorreri: /* Determinanter (kun definert for n x n-matriser) */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:38:37Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:37:49Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:37:30Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TFY4115 - Fysikk

2010-06-03T18:34:54Z

Snorreri: /* Eksterne linker */

{{Infobox
|Fakta høst 2009
|*Foreleser: Eivind Hiis Hauge
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (80%), midtsemester (20%, kun positiv), arbeider (8/13 bestått)
*Eksamensdato: 18.12.09
}}

== Om faget ==

Faget TFY4115 er et grunnleggende fysikkemne, som fokuserer på klassisk mekanikk og varmelære. Det tar for seg Newtons lover for translasjon og rotasjon, udempete svingninger, og termisk fysikk med kinetisk gassteori, prosesser og varmeledning

== Lærebøker ==

'Grunnleggende fysikk - klassisk mekanikk og varmelære' av Eivind Hiis Hauge og Jon Andreas Støveng er pensumsboka til dette kurset. For de som ønsker mer utdypende forklaringer har 'Physics for Scientists and Engineers' (Tipler & Mosca), eller 'University Physics" (Young and Freedman) blitt brukt som tilleggsbok. Den innholder veldig mange eksempler og oppgaver, i motsetning til den mer korfattede 'Grunnleggende fysikk'.

== Faglig Innhold ==

'''I pensum for 2009 inngår:'''

SI-systemet

Newtons lover

Krefter

Arbeid, energi og impuls

Rotasjon om fast omdreiningsakse

Rotasjon i tredimensjoner

Svingeligningen/udempete svininger

Termisk fysikk

Kinetisk gassteori

Faseoverganger

Varmelærens første hovedsetning

Varmelærens andre hovedsetning

Varmetransport

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/portal/page/portal/ntnuno/AlleEmner?rootItemId=22934&selectedItemId=31007&emnekode=TFY4115&year=2009 NTNUs fagbeskrivelse]

*[http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/BASISFYSIKK/basisfysikk.htm Lørdagsuniversitetforelesninger]

*[http://home.phys.ntnu.no/instdef/arkiv/eksamen/tfy4115/index.html Eksamensoppgaver]

*[http://www.walter-fendt.de/ Fysikk Applets]

*[http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/ MIT Open Course Ware - Classical Mechanics]
[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 1. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TFY4115 - Fysikk

2010-06-03T18:33:56Z

Snorreri: /* Eksterne linker */

{{Infobox
|Fakta høst 2009
|*Foreleser: Eivind Hiis Hauge
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (80%), midtsemester (20%, kun positiv), arbeider (8/13 bestått)
*Eksamensdato: 18.12.09
}}

== Om faget ==

Faget TFY4115 er et grunnleggende fysikkemne, som fokuserer på klassisk mekanikk og varmelære. Det tar for seg Newtons lover for translasjon og rotasjon, udempete svingninger, og termisk fysikk med kinetisk gassteori, prosesser og varmeledning

== Lærebøker ==

'Grunnleggende fysikk - klassisk mekanikk og varmelære' av Eivind Hiis Hauge og Jon Andreas Støveng er pensumsboka til dette kurset. For de som ønsker mer utdypende forklaringer har 'Physics for Scientists and Engineers' (Tipler & Mosca), eller 'University Physics" (Young and Freedman) blitt brukt som tilleggsbok. Den innholder veldig mange eksempler og oppgaver, i motsetning til den mer korfattede 'Grunnleggende fysikk'.

== Faglig Innhold ==

'''I pensum for 2009 inngår:'''

SI-systemet

Newtons lover

Krefter

Arbeid, energi og impuls

Rotasjon om fast omdreiningsakse

Rotasjon i tredimensjoner

Svingeligningen/udempete svininger

Termisk fysikk

Kinetisk gassteori

Faseoverganger

Varmelærens første hovedsetning

Varmelærens andre hovedsetning

Varmetransport

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/portal/page/portal/ntnuno/AlleEmner?rootItemId=22934&selectedItemId=31007&emnekode=TFY4115&year=2009 NTNUs fagbeskrivelse]

*[http://web.phys.ntnu.no/~stovneng/BASISFYSIKK/basisfysikk.htm Lørdagsuniversitetforelesninger]

*[http://home.phys.ntnu.no/instdef/arkiv/eksamen/tfy4115/index.html Eksamensoppgaver]

*[http://www.walter-fendt.de/ Fysikk Applets]

*[http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/ MIT Open Course Ware] Svært gode videoforelesninger, mange er relevante og kan være til god hjelp i mekanikkdelen av kurset.

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 1. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:12:22Z

Snorreri: /* Rad-, kolonne- og nullrom */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:11:45Z

Snorreri: /* Rad-, kolonne- og nullrom */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

- Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

- Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

- Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

(b) ''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

(c) ''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

(d) ''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:08:29Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:07:34Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}</math> har kun den trivielle løsningen <math>\overrightarrow{0}</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:05:31Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:04:09Z

Snorreri: /* Basis */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax=0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:03:32Z

Snorreri: /* Lineær avhengighet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax=0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:03:12Z

Snorreri: /* Lineær avhengighet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax=0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

''Def:'''''Fet tekst''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T18:01:35Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>Ax=0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

(e) <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:50:54Z

Snorreri: /* Konsekvenser av invertiblitet */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) <math>A\mathbfx=\mathbf0</math> har kun den trivielle løsningen <math>\mathbfx=\mathbf0</math>.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:46:38Z

Snorreri: /* Determinanter (kun definert for n x n-matriser) */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:46:04Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "''Advanced Engineering Mathematics''" - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:45:24Z

Snorreri: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "Advanced Engineering Mathematics" - Erwin Kreuszig, mens "Elementary Linear Algebra" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:44:48Z

Snorreri: /* Viktige matriseidentiter og egenskaper */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "Advanced Engineering Mathematics" - Erwin Kreuszig, mens "Elementary Linear Algebra" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

===Determinanter (kun definert for n x n-matriser)===

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

===Lineær avhengighet===

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

===Ortogonal projeksjon===

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Symmetriske matriser===

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

(c) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale.

===Diagonalisering===

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:41:27Z

Snorreri: /* Viktige matriseidentiter og egenskaper */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "Advanced Engineering Mathematics" - Erwin Kreuszig, mens "Elementary Linear Algebra" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

'''Konsekvenser av invertiblitet'''

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

'''Determinanter (kun definert for nxn-matriser)'''

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

'''Lineær avhengighet'''

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

'''Basis'''

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

'''Rad-, kolonne- og nullrom'''

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

'''Ortogonal projeksjon'''

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

'''Egenvektorer og egenverdier'''

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

'''Symmetriske matriser'''

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

'''Diagonalisering'''

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale. A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math>. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:38:26Z

Snorreri: /* Om faget */

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:32:36Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i del (i) og (ii) "Advanced Engineering Mathematics" - Erwin Kreuszig, mens "Elementary Linear Algebra" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

----
===Viktige matriseidentiter og egenskaper===

'''Konsekvenser av invertiblitet'''

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

'''Determinanter (kun definert for nxn-matriser)'''

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

'''Lineær avhengighet'''

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

'''Basis'''

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

'''Rad-, kolonne- og nullrom'''

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

'''Ortogonal projeksjon'''

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

'''Egenvektorer og egenverdier'''

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

'''Symmetriske matriser'''

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

'''Diagonalisering'''

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale. A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math>. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:29:26Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall.''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger.''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra.''' Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

----
===Viktige matriseidentiter og egenskaper===

'''Konsekvenser av invertiblitet'''

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

'''Determinanter (kun definert for nxn-matriser)'''

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

'''Lineær avhengighet'''

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

'''Basis'''

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

'''Rad-, kolonne- og nullrom'''

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

'''Ortogonal projeksjon'''

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

'''Egenvektorer og egenverdier'''

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

'''Symmetriske matriser'''

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

'''Diagonalisering'''

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale. A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math>. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:18:17Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

(i) '''Komplekse tall''' En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

(ii) '''2. ordens ordinære lineære differensialligninger''' Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger.

(iii) '''Matriseregning og lineære algebra'''

----
===Viktige matriseidentiter og egenskaper===

'''Konsekvenser av invertiblitet'''

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

'''Determinanter (kun definert for nxn-matriser)'''

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

'''Lineær avhengighet'''

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

'''Basis'''

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

'''Rad-, kolonne- og nullrom'''

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

'''Ortogonal projeksjon'''

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

'''Egenvektorer og egenverdier'''

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

'''Symmetriske matriser'''

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

'''Diagonalisering'''

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale. A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math>. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-03T17:07:53Z

Snorreri: /* Om faget */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg komplekse tall, 2. ordensdifferensial ligninger og matriseregning.

----
===Viktige matriseidentiter og egenskaper===

'''Konsekvenser av invertiblitet'''

Følgende utsagn er ekvivalente:

(a) A er inverterbar.

(b) det(A) ≠ 0.

(c) A er radekvivalent med I.

(d) A'''x'''='''0''' har kun den trivielle løsningen '''x'''='''0'''.

(e) A'''x'''='''b''' har én unik løsning.

'''Determinanter (kun definert for nxn-matriser)'''

(a) Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

(b) Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

(c) Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

(d) |AB|=|A||B|.

'''Lineær avhengighet'''

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

'''Basis'''

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

(a) Vektorene i S er lineært uavhengige.

(b) Vektorene i S utspenner hele V.

'''Rad-, kolonne- og nullrom'''

-Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til echelonform (E). Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.-

- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til A'''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i Col(A).

- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av A'''x'''='''0'''.

(a) Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

(b) n = rank (A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

(c) Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

(d) Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

'''Ortogonal projeksjon'''

(a) Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

(b) <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

'''Egenvektorer og egenverdier'''

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien

(a) ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

'''Symmetriske matriser'''

Dersom A er en n x n-matrise gjelder.

(a) <math> A = A^T </math>

(b) <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

'''Diagonalisering'''

(a) de kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

(b) A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

(c) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

(d) Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

(e) Egenvektorene til en symmetrisk matrise A er ortogonale. A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math>. Her må basisen for egenvektorene bestå av ortonormale vektorer. Da kalles P en ortogonal matrise.

(f) For en ortogonal matrise A gjelder:

- A er kvadratisk.

- <math>A^T </math> er ortogonal.

- Radene og kolonnene er ortonormale.

- <math>A^T = A^{-1}</math>.

- |A| = 1

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v09/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]