NanoWiki - Brukerbidrag [nb]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:29:17Z

Ambjorb: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:28:44Z

Ambjorb: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-04T08:28:09Z

Ambjorb: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_kv_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan da skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det P = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]