TMA4115 - Matematikk 3
|
|
Innhold
Om faget
Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:
- Komplekse tall
En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.
- Andre ordens ordinære lineære differensialligninger
Tar for seg løsning av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter, homogene ligninger med én kjent løsning og metode med variasjon av parametre.
- Matriseregning og lineær algebra
Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet: Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.
- Lærebøker
Våren 2011 var Advanced Engineering Mathematics (Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens Elementary Linear Algebra (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii).
Våren 2015 var Differential Equations, Linear algebra and its applications (Pearson) lærebok i alle tre deler. Denne boken består av utdrag fra flere ulike bøker og er kompilert av IMF. ISBN 978-1-78016-081-8.
Komplekse tall
Et komplekst tall kan skrives på formen <math>z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}</math>.
<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad \operatorname{Arg}\,z = \arctan{\frac{b}{a}} = \theta</math>
Den komplekskonjugerte til <math>a + bi</math> er <math>a - bi</math>.
Røtter av komplekse tall
Gitt <math>w = z^n, \quad w = re^{i\,\theta + 2\pi k}, \quad z = \rho e^{i\,\phi}</math>
<math>z^n = \rho^n e^{i\,n\phi} = w</math>
<math>\rho = \sqrt[n]{r} \quad \phi = i\frac{\theta + 2\pi k}{n}, k \in \left[0,n-1\right]</math>
Et komplekst tall har n n-terøtter, som ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius <math>\rho</math> i det komplekse planet.
Andre ordens differensiallikninger
Homogene differensiallikninger
Den homogene andreordens differensiallikningen <math>y + ay' + by = 0\,</math> løses ved å løse den karakteristiske likningen <math>\lambda^2 + a\lambda + b = 0\,</math>.
- Hvis den karakteristiske likningen har kompleks løsning <math>\lambda = \alpha + i\omega</math>, er den generelle løsningen <math>y = e^{\alpha x}\left(c_1\cos{\omega x} + c_2\sin{\omega x}\right)</math>
- Hvis den karakteristiske likningen har én reell løsning (dobbelrot), er den generelle løsningen <math>y = \left(c_1 + c_2x\right)e^{\lambda x}</math>
- Hvis den karakteristiske likningen har to distinkte, reelle løsninger, er den generelle løsningen <math>y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}</math>
Inhomogene differensiallikninger
Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. <math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:
Ubestemte koeffisienters metode
Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>
Variasjon av parametre
Anta at <math>y_1\,</math> og <math>y_2\,</math> er løsninger av <math>y + py' + qy = 0.\,</math> Alle løsninger er på formen <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math>. Ideen er å se etter en løsning av <math>y + py' + qy = f(t)\,</math> som tilfredsstiller <math>y = uy_1 + vy_2\,</math> og <math>y' = uy'_1 + vy'_2\,</math>, der <math>u\,</math> og <math>v\,</math> er funksjoner.
Viktige matriseidentiter og egenskaper
Konsekvenser av invertiblitet
Følgende utsagn er ekvivalente:
- A er inverterbar.
- det(A) ≠ 0.
- A er radekvivalent med I.
- <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>
- <math>Ax=b</math> har én unik løsning.
Determinanter
NB: Kun definert for n x n-matriser.
- Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.
- Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.
- Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.
- Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar
- det(AB) = det(A)•det(B)
Lineær avhengighet
Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.
Basis
Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:
- Vektorene i S er lineært uavhengige.
- Vektorene i S utspenner hele V.
Rad-, kolonne- og nullrom
- Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.
- En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise E på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.
- Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til Ax=b. Altså ligger alle b som har løsning i Col(A).
- Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av Ax=0.
- Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))
- n = rank(A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.
- Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).
- Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).
Ortogonal projeksjon
- Du finner den ortogonale projeksjonen p av b inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og x' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen p = Ax'.
- <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.
Egenvektorer og egenverdier
Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor v ≠ 0, slik at: <math>Av = \lambda v</math>
- Her kalles v en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.
- Den karakteristiske likningen: <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.
Transponerte matriser
- En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.
- <math> (AB)^T = B^TA^T </math>
- A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>
- Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.
Diagonalisering
- De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.
- A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne i i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne i i P.
- A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.
- Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.
- A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.
- For en ortogonal matrise A gjelder:
- A er kvadratisk.
- <math>A^T </math> er ortogonal.
- Radene og kolonnene er ortonormale.
- <math>A^T = A^{-1}</math>.
- det(A) = ±1
Nyttige regneregler
- <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
- <math>(AB)^T=B^TA^T</math>
- <math> x \cdot y = x^T y</math>
- det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)
- det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)
- <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>
