Forskjell mellom versjoner av «TMA4115 - Matematikk 3»

Revisjonen fra 16. sep. 2010 kl. 18:17

Om faget

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

• Komplekse tall

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

• Andre ordens ordinære lineære differensialligninger

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

• Matriseregning og lineære algebra

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet: Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) "Advanced Engineering Mathematics" - Erwin Kreuszig, mens "Elementary Linear Algebra" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

Viktige matriseidentiter og egenskaper

Konsekvenser av invertiblitet

Følgende utsagn er ekvivalente:

• A er inverterbar.

• det(A) ≠ 0.

• A er radekvivalent med I.

• <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

• <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

Determinanter

NB: Kun definert for n x n-matriser.

• Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

• Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

• Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

• Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

• det(AB) = det(A)•det(B)

Lineær avhengighet

Def: Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

Basis

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

• Vektorene i S er lineært uavhengige.

• Vektorene i S utspenner hele V.

Rad-, kolonne- og nullrom

• Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

• En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise E på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.

• Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til Ax=b. Altså ligger alle b som har løsning i Col(A).

• Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av Ax=0.

• Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

• n = rank(A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

• Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

• Col(A) sitt ortogonale komplement er Null(<math>A^T</math>).

Ortogonal projeksjon

• Du finner den ortogonale projeksjonen p av b inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og x' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen p = Ax'.

• <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

Egenvektorer og egenverdier

Def: <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor v ≠ 0, slik at: <math>Av = \lambda v</math>

Her kalles v en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

• Den karakteristiske likningen: <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

Transponerte matriser

• En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

• <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

• A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

• Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

Diagonalisering

• De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

• A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne i i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne i i P.

• A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

• Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

• A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

• For en ortogonal matrise A gjelder:

1. A er kvadratisk.
2. <math>A^T </math> er ortogonal.
3. Radene og kolonnene er ortonormale.
4. <math>A^T = A^{-1}</math>.
5. det(A) = ±1

Nyttige regneregler

• <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>

• <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

• <math> x \cdot y = x^T y</math>

• det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

• det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

• <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

Eksterne linker

• NTNUs fagbeskrivelse
• Timeplan Vår11
• MIT OpenCourseWare - Linear Algebra