Forskjell mellom versjoner av «TMA4105 - Matematikk 2»
Fra Nanowiki
| Linje 24: | Linje 24: | ||
*Vektoranalyse: Vektorfelt, Greens teorem, Stokes' teorem, divergensteoremet, fluks av vektorfelt. |
*Vektoranalyse: Vektorfelt, Greens teorem, Stokes' teorem, divergensteoremet, fluks av vektorfelt. |
||
| + | Se også [http://www.nanowiki.no/wiki/Faglige_notater:_TMA4105 faglige notater] for TMA 4105. |
||
| − | '''Nablavektoren''' <math>\vec{\nabla}</math> |
||
| − | |||
| − | Nablaoperatoren er definert som <math>\nabla f(x,y,z) =\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}</math>. |
||
| − | En naturlig utvidelse av dette blir nablavektoren, definert som vektoren <math>\vec{\nabla} f(x,y,z) =[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]</math>. |
||
| − | Retningen til denne vektoren angir den retningen der funksjonen ''f(x,y,z)'' vokser raskest, mens verdien til vektoren angir hvor stor denne veksten er. Ved å følge nablavektoren vil man altså alltid komme til nærmeste ekstrempunkt i funskjonen. |
||
| − | Dersom man setter ''f(x,y,z)=k'', der ''k'' er en konstant, altså man lager nivåkurver i ''f(x,y,z)'' vil nablavektoren stå normal på disse nivåkurvene. |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Dekomponering av akselerasjonsvektor''' |
||
| − | |||
| − | <math>\mathbf{a}(t) = v'(t)\mathbf{T}(t) + \kappa (t)v^2(t)\mathbf{N}(t)</math> |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Diskriminanten i annenderiverttesten''' |
||
| − | |||
| − | <math>\Delta = AC - B^2\,</math> der <math>A = f_{xx},\,\,\, B = f_{xy},\,\,\, C = f_{yy}</math> |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Sylinderkoordinater''' (<math>r,\,\theta,\,z</math>) |
||
| − | |||
| − | <math>x = r \cos{\theta}\quad y = r \sin{\theta} \quad z = z</math> |
||
| − | |||
| − | <math>r^2 = x^2 + y^2 \quad dV = r dz \,dr \,d\theta</math> |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Kulekoordinater''' (<math>\rho,\,\phi,\,\theta</math>) |
||
| − | |||
| − | <math>x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}\quad y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta} \quad z = \rho\cos{\phi}</math> |
||
| − | |||
| − | <math>\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 \quad dV = \rho^2 \sin{\phi} \,d\rho\, d\phi \,d\theta</math> |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Flateintegral''' |
||
| − | |||
| − | <math>d\sigma = \left|\mathbf{N}(u,v)\right|\,du\,dv = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv</math> |
||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Tyngdepunkt og treghetsmoment''' |
||
| − | |||
| − | <math>\bar{x} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T x \, dm \quad \bar{y} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T y \, dm \quad \bar{z} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T z \, dm \quad dm = \delta(x,y,z)\,dV</math> |
||
| − | |||
| − | <math>I_x = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( y^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_y = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_z = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + y^2 \right) \, dm \quad I_L = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T R(x,y,z)^2 \, dm \quad</math> |
||
| − | |||
| − | ==== Vektoranalyse==== |
||
| − | Greens teorem: <math>\oint_C P \, dx + Q \, dy = \int \! \! \! \! \int_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA</math> |
||
| − | |||
| − | Divergensteoremet: <math>\int \!\!\!\! \int_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \operatorname{div}\, \mathbf{F}\,dV</math> |
||
| − | |||
| − | Stokes' teorem: <math>\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = \int \! \! \! \! \int_S \operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,d\sigma</math> |
||
| − | |||
| − | |||
=== Anbefalte forkunnskaper === |
=== Anbefalte forkunnskaper === |
||
Revisjonen fra 4. mai 2015 kl. 13:53
|
|
Innhold
Om faget
Faglig innhold
Matematikk 2 er en utvidelse av matematikk 1 fra grunnleggende kalkulus til multivariabel kalkulus.
Kurset inneholder:
- Vektorer og parametriserte kurver: Krumning, vektorprodukt, buelengde, integralregning.
- Kurver og flater: Polar-, sylinder- og kulekoordinater.
- Funksjoner av flere variable: Partiell derivasjon, gradientvektor, Lagrangemultiplikatorer, implisitt derivasjon, kjerneregel.
- Multiple integral: Dobbelt- og trippelintegral, flateareal, kurveintegral.
- Vektoranalyse: Vektorfelt, Greens teorem, Stokes' teorem, divergensteoremet, fluks av vektorfelt.
Se også faglige notater for TMA 4105.
Anbefalte forkunnskaper
TMA4100 Matematikk 1 eller tilsvarende.
NTNUs emnebeskrivelse
Romkurver. Funksjoner av flere variable. Taylors setning i to dimensjoner, maksima og minima i flere variable, Lagranges multiplikatormetode. Dobbelt- og trippelintegral, linje- og flateintegral. Vektoranalyse. Greens, Stokes' og Gauss' teoremer.
Lenker
Læringsressurser
Adams og Essexs: Calculus, eighth edition. Boken kan kjøpes i en spesiell tobinds paperbackutgave (ISBN ADAMS Custom 9781783650989) på akademika. Det spiller ingen rolle om dere kjøper spesialutgaven eller den originale utgaven (den eneste forskjellen er at spesialutgaven er delt i to bind).
