Forskjell mellom versjoner av «TMA4105 - Matematikk 2»
Linje 16: | Linje 16: | ||
=== Faglig innhold === |
=== Faglig innhold === |
||
Matematikk 2 er en utvidelse av matematikk 1 fra grunnleggende kalkulus til multivariabel kalkulus. |
Matematikk 2 er en utvidelse av matematikk 1 fra grunnleggende kalkulus til multivariabel kalkulus. |
||
+ | |||
− | Her er noe av det mest sentrale i emnet: |
||
+ | Kurset inneholder: |
||
+ | *Vektorer og parametriserte kurver: Krumning, vektorprodukt, buelengde, integralregning. |
||
+ | *Kurver og flater: Polar-, sylinder- og kulekoordinater. |
||
+ | *Funksjoner av flere variable: Partiell derivasjon, gradientvektor, Lagrangemultiplikatorer, implisitt derivasjon, kjerneregel. |
||
+ | *Multiple integral: Dobbelt- og trippelintegral, flateareal, kurveintegral. |
||
+ | *Vektoranalyse: Vektorfelt, Greens teorem, Stokes' teorem, divergensteoremet, fluks av vektorfelt. |
||
'''Nablavektoren''' <math>\vec{\nabla}</math> |
'''Nablavektoren''' <math>\vec{\nabla}</math> |
||
Linje 80: | Linje 86: | ||
=== Læringsressurser === |
=== Læringsressurser === |
||
Adams og Essexs: [http://www.pearsoncanada.ca/highered/showcase/calculus-a-complete-course-8th-edition Calculus, eighth edition]. Boken kan kjøpes i en spesiell tobinds paperbackutgave (ISBN ADAMS Custom 9781783650989) på akademika. Det spiller ingen rolle om dere kjøper spesialutgaven eller den originale utgaven (den eneste forskjellen er at spesialutgaven er delt i to bind). |
Adams og Essexs: [http://www.pearsoncanada.ca/highered/showcase/calculus-a-complete-course-8th-edition Calculus, eighth edition]. Boken kan kjøpes i en spesiell tobinds paperbackutgave (ISBN ADAMS Custom 9781783650989) på akademika. Det spiller ingen rolle om dere kjøper spesialutgaven eller den originale utgaven (den eneste forskjellen er at spesialutgaven er delt i to bind). |
||
+ | |||
+ | [https://video.adm.ntnu.no/serier/54943f6c917e0 Videoforelesninger] |
||
+ | |||
+ | [https://video.adm.ntnu.no/serier/5497cd69e0987 Introduksjonsforelesninger] |
||
=== Emnerapporter === |
=== Emnerapporter === |
Revisjonen fra 4. mai 2015 kl. 13:42
|
Innhold
Om faget
Faglig innhold
Matematikk 2 er en utvidelse av matematikk 1 fra grunnleggende kalkulus til multivariabel kalkulus.
Kurset inneholder:
- Vektorer og parametriserte kurver: Krumning, vektorprodukt, buelengde, integralregning.
- Kurver og flater: Polar-, sylinder- og kulekoordinater.
- Funksjoner av flere variable: Partiell derivasjon, gradientvektor, Lagrangemultiplikatorer, implisitt derivasjon, kjerneregel.
- Multiple integral: Dobbelt- og trippelintegral, flateareal, kurveintegral.
- Vektoranalyse: Vektorfelt, Greens teorem, Stokes' teorem, divergensteoremet, fluks av vektorfelt.
Nablavektoren <math>\vec{\nabla}</math>
Nablaoperatoren er definert som <math>\nabla f(x,y,z) =\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}</math>. En naturlig utvidelse av dette blir nablavektoren, definert som vektoren <math>\vec{\nabla} f(x,y,z) =[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]</math>. Retningen til denne vektoren angir den retningen der funksjonen f(x,y,z) vokser raskest, mens verdien til vektoren angir hvor stor denne veksten er. Ved å følge nablavektoren vil man altså alltid komme til nærmeste ekstrempunkt i funskjonen. Dersom man setter f(x,y,z)=k, der k er en konstant, altså man lager nivåkurver i f(x,y,z) vil nablavektoren stå normal på disse nivåkurvene.
Dekomponering av akselerasjonsvektor
<math>\mathbf{a}(t) = v'(t)\mathbf{T}(t) + \kappa (t)v^2(t)\mathbf{N}(t)</math>
Diskriminanten i annenderiverttesten
<math>\Delta = AC - B^2\,</math> der <math>A = f_{xx},\,\,\, B = f_{xy},\,\,\, C = f_{yy}</math>
Sylinderkoordinater (<math>r,\,\theta,\,z</math>)
<math>x = r \cos{\theta}\quad y = r \sin{\theta} \quad z = z</math>
<math>r^2 = x^2 + y^2 \quad dV = r dz \,dr \,d\theta</math>
Kulekoordinater (<math>\rho,\,\phi,\,\theta</math>)
<math>x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}\quad y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta} \quad z = \rho\cos{\phi}</math>
<math>\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 \quad dV = \rho^2 \sin{\phi} \,d\rho\, d\phi \,d\theta</math>
Flateintegral
<math>d\sigma = \left|\mathbf{N}(u,v)\right|\,du\,dv = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv</math>
Tyngdepunkt og treghetsmoment
<math>\bar{x} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T x \, dm \quad \bar{y} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T y \, dm \quad \bar{z} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T z \, dm \quad dm = \delta(x,y,z)\,dV</math>
<math>I_x = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( y^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_y = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_z = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + y^2 \right) \, dm \quad I_L = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T R(x,y,z)^2 \, dm \quad</math>
Vektoranalyse
Greens teorem: <math>\oint_C P \, dx + Q \, dy = \int \! \! \! \! \int_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA</math>
Divergensteoremet: <math>\int \!\!\!\! \int_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \operatorname{div}\, \mathbf{F}\,dV</math>
Stokes' teorem: <math>\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = \int \! \! \! \! \int_S \operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,d\sigma</math>
Anbefalte forkunnskaper
TMA4100 Matematikk 1 eller tilsvarende.
NTNUs emnebeskrivelse
Romkurver. Funksjoner av flere variable. Taylors setning i to dimensjoner, maksima og minima i flere variable, Lagranges multiplikatormetode. Dobbelt- og trippelintegral, linje- og flateintegral. Vektoranalyse. Greens, Stokes' og Gauss' teoremer.
Lenker
Læringsressurser
Adams og Essexs: Calculus, eighth edition. Boken kan kjøpes i en spesiell tobinds paperbackutgave (ISBN ADAMS Custom 9781783650989) på akademika. Det spiller ingen rolle om dere kjøper spesialutgaven eller den originale utgaven (den eneste forskjellen er at spesialutgaven er delt i to bind).