Partielle differensiallikninger

(Ganske) generell fremgangsmåte for å løse de aller fleste løsbare partielle differensiallikninger du kommer over i matematikk 4N eller andre steder.

Først antar man at en funksjon kan skrives på formen

<math>u(x,y)=F(x)\cdot G(y)</math>.

Dette kalles seperasjon av variabler. Det er viktig å påpeke at dette ikke nødvendigvis er en gyldig løsning av likningen, men for de aller fleste likningene vi vil jobbe med vil metoden fungere. Da vil man danne et sett av ordinære differensiallikninger (ODE) ut fra den seperable partielle differensiallikningen. Man får også det som kalles seperasjonkonstanter, som må avgjøres av faktorer utenfor selve likningen. Disse kalles randvilkår.

Metoden kan illustreres ved et eksempel. Vi begynner med bølgelikningen:

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

Ved seperasjon av variabler kan man da skrive

<math>u(x,t)=F(x)\cdot G(t)</math>

Dette setter man inn for <math>\bold{}u(x,t)</math> i bølgelikningen:

<math>F(x)\frac{\partial^2 G(t)}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 F(x)}{\partial x^2}G(t)</math>

eller skrevet litt enklere

<math>F(x)\ddot{G}(t)=c^2F(x)G(t)</math>

Man deler likninga på <math>\bold{}F(x)\cdot G(t)</math>:

<math>\frac{F(x)}{F(x)}=c^2\frac{\ddot{G}(t)}{G(t)}=k</math>

der <math>k</math> er en vilkårlig konstant, det såkalte seperasjonskonstanten. Grunnen til at man kan definere likningen over er at hvis hver side av likninga skal være lik for alle x og t, må begge sider være lik noe som er uavhengig av både x og t, altså en konstant k.

Nå er vi minst 1/4 på veien, mer kommer.

--Goranb 12. okt 2008 kl. 19:53 (UTC) (Egentlig Kai)