Brownsk bevegelse av ellipsoider

Under construction

Innledning og motivasjon

Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009. Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

Brownsk bevegelse

Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur, dvs at han observerte det samme fenomenet da han så på uorganisk materiale som sot. Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("Investigations on the theory of the Brownian Movement"<ref name="eins">http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brownian.pdf</ref>) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon. For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til en ikke Gaussisk fordeling.

Eksperimentielt

Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Så sent som i 2006 studerte en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å obsevere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for så å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

Ellipsoidiske partikler og diffusjon

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.

De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik langs x- og y-retning.

Generell friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> , der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

For ellipsoidiske partikler vil <math>\zeta</math>, friksjonskoeffisienten variere langs A- og B-retning. Dette kan uttrykkes slik:

<math>D_A=\frac{k_B T}{\zeta_A}</math> og

<math>D_B=\frac{k_B T}{\zeta_B}</math>, definert som over.

I tillegg vil ellipsoidiske partikler ha en diffunderingstid, <math>\tau</math>, avhengig av diffusjonen, <math>D_\theta</math>, uttrykt ved

<math>\tau_\theta = \frac{1}{2D_\theta}</math>

der

<math>D_\theta = \frac{k_B T}{\zeta_\theta}</math>

<math>D_\theta</math> og <math>\tau_\theta</math> visker ut retningsminnet og vil gi en overgang fra anisotropisk diffusjon, for korte tidsrom, til isotropisk diffusjon for tider mye lengere enn <math>\tau_\theta</math>.

(Dette er ikke tatt hensyn til under MATLAB simulasjonen nedenfor.)

Brownsk bevegelse av sfæriske partikler

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen. Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

2D simulering med MATLAB

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler.

Følgende funksjon ble brukt:

---

---

function coin=kast(a,b)

A=randn(a,b);

B=randn(a,b);

Coin=A

Tail=B;

cs=cumsum(Coin);

ps=cumsum(Tail);

plot(ps,cs)

end

---

---

Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler

De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Figurene under viser ti ellipsoidiske partikler, der alle partiklene har en tilfeldig rotasjon mellom 0 og 2<math>\pi</math>. Diffusjonslengden i x-retning er satt til å være ti ganger større enn i y-retningen. Dette er ikke et nøyaktig mål, men illustrerer partiklenes bevegelsesnatur. Nylig ble disse forsøkene utført av en gruppe fra University of Pennsylvania. Teorien som Einstein la frem for 100 år siden hadde da lenge ligget død og uutforsket, men unntak av franskmannen Perrins forsøk fra 1930-årene. Mye av dette var fordi man ikke hadde tilstrekkelig med vertøy for å påvise at eksperimentelle resultat stemte med teorien. Pennsylvaniaforskerene tok i bruk digital billedbehandling og databaserte analysevertøy. Ved å bruke en lysfølsom krets kunne de registrere orientering og posisjon av en partikkel over lengre tid. Førsøkene bekreftet Perrin og Einsteins påstander om at ellipsoidiske partikler har et annet bevegelsesmønster sammenliknet med sfærer. Et plot av mange ellipsoidiske partiklers tilfedige bevegelser vil dermed ikke gi den karakteristiske Gausskurven.

Rotasjonsmatrisen under brukes for å projesere A og B retningene (ellipsoidens koordinatsystem) ned i x,y-planet:

<math>

\begin{bmatrix}

   x \\
   y \\
 \end{bmatrix}

=

 \begin{bmatrix}
   cos\theta & -sin\theta \\
   sin\theta & cos\theta  \\
 \end{bmatrix}

\times

 \begin{bmatrix}
   A  \\
   B \\
 \end{bmatrix}

</math>

2D simulering i MATLAB

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler.

Følgende funksjon ble brukt:

---

---

x0=0; %Abscissa of the Center Point of the Ellipse

y0=0; %Ordinate of the Center Point of the Ellipse

steps = 1000;

A=10.*randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i x-retning.

B=randn(steps,10); %Et mål på hvor langt en partikkel diffunderer i y-retning.

C=(2*pi)*rand(steps,10); %Gir en tilfeldig vinkel

X = cos(C).*A - sin(C).*B; %projeserer A ned i x,y-planet

Y = sin(C).*A + cos(C).*B; %projeserer B ned i x,y-planet

cs=cumsum(X);

ps=cumsum(Y);

plot(cs,ps)

---

---

Startpunktene er definert i origo. Denne koden simulerer 10 partikler som hver går tusen steg. Bevegelse i x- og y-retning er bestemt av funksjonen randn. Siden vi ønsker at diffusjonen langs A skal være større, har vi ganget denne med en faktor på 10. Ellipsen har vi gitt et eget koordinatsystem, med aksene A og B. Dette koordinatsystemet roteres i forholdet til det faste systemet. Variablen C gir en tilfeldig vinkel, mellom 0 og 2<math>\pi</math>, som benyttes i rotasjonsmatrisen. Kumulativ summering av X og Y, gir oss den totale tilbakelagte distansen, mens plot-funksjonen plotter de to summene.

Hva kan dette brukes til?

Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

References

<references/>