Brownsk bevegelse av ellipsoider

Innledning og motivasjon

Artikkelen kommer fra bionanoprosjektet "Brownian motion of an ellipsoid", våren 2009. Prosjektet omhandler Brownsk bevegelse av partikler når de ikke kan sies å være sfæriske eller kuleformede. Få partikler har en perfekt sfærisk form, og det er viktig å vite hvordan slike partikler oppfører seg. Prosjektet tar for seg ikke-sfæriske partikler i to dimensjoner, da dette er enklere å behandle og beskrevet i artikkelen "Brownian motion of an ellipsoid"<ref name="ellips">Y.Han m.fl, "Brownian motion of an ellipsoid", Sciencemag.org, May 2006</ref>, som er hovedkilden vår.

Brownsk bevegelse

Brownsk bevegelse ble først oppdaget av Robert Brown i 1827 da han så på pollen i et enkelt lysmikroskop. Brown oppdaget at bevegselsen var uavhengig av partikkelens natur. Fenomenet forble mer eller mindre uforklart fram til Einsteins utgivelse ("On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat"1) i 1905. Her forklarte han matematisk hvordan brownsk bevegelse oppsto fra termiske krefter, men at translasjonen til sfæriske partikler var uavhengig av dens rotasjon. For ikke-sfæriske partikler, derimot, vil rotasjonen påvirke translasjonen. Dette vil føre til en ikke Gaussisk fordeling.

Eksperimentielt

Selv om fenomenet om ikke-Gaussisk fordeling av ellipsoidiske partikler har vært kjent lenge, var det ikke før i senere tid at det ble beskrevet matematisk. Det var en forskningsgruppe på Universitetet i Pennsylvania som studerte denne bevegelsen. Eksperimentet gikk ut på å studere Brownsk bevegelse til ellipsoidiske partikler i vann, begrenset til to dimensjoner, for å kartlegge sammenhengen mellom translasjon og rotasjon. 2D ble valgt fordi dette gjorde eksperimentet betraktelig lettere; både med tanke på bildebehandling, datatilgang og dens lagringskapasitet. I tillegg er de målte effektene større i 2D enn i 3D.

Ellipsoidiske partikler og diffusjon

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Ellipsoidens bevegelige koordinatsystem.

De fleste partikler er ikke-sfæriske og ligger nærmere en ellipsoidisk form. En ellipsoidisk partikkel vil oppleve friksjon fra omgivelse, men pga. den ovale formen er friksjonen ulik langs x- og y-retning. Friksjon er knyttet til diffusjon gjennom ligningen:

<math>D=\frac{k_B T}{\zeta}</math> , der <math>k_B</math> er Boltzmanns konstant, T temperaturen og <math>\zeta</math> friksjonskoeffisienten.

Brownsk bevegelse av sfæriske partikler

Når vi antar sfæriske partikler vil ikke bevegelsen påvirkes av rotasjonen til partikkelen. Alle retninger vil være like sannsynlige å gå, derfor får vi en Gaussisk fordeling. Gaussisk sansynlighetsfordeling er beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution. Denne simulasjonen gjorde alle i "Problem Class 3-4" våren 2009.

2D simulering med MATLAB

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler.

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Ingen rotasjon. 1000 steps, 10 partikler.

Brownsk bevegelse av ikke-sfæriske partikler

De Brownske bevegelsene til ikke-sfæriske partikler er sammensatt av både translasjon og rotasjon. Partiklene vil derfor diffundere lenger i den ene retningen enn i den andre; de vil ha en større friksjonskoeffisient langs langsida, se figur 1.

2D simulering i MATLAB

Feil under oppretting av miniatyrbilde: Filen mangler

Brownsk bevegelse simulert med MATLAB. Rotasjon. 1000 steps, 10 partikler.

Hva kan dette brukes til?

Først og fremst er kunnskapen om den brownske bevegelsen til ellipsoider nyttig å kjenne til fordi det vil ha konsekvenser i applikasjoner der partikler brukes som kilde. Et eksempel er hvordan akselererte Brownske bevegelser fortsatt kan ha en tilfeldig bevegelse når det settes en kraft/motor på partikkelen.

References

<references/>